中心が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、かつ $x$ 軸に接し、点 $(-2, 3)$ を通る円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

中心が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、かつ $x$ 軸に接し、点 $(-2, 3)$ を通る円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a, 2a+1)$ とおく。円が $x$ 軸に接するので、半径は $|2a+1|$ となる。

円の方程式は

$(x-a)^2 + (y-(2a+1))^2 = (2a+1)^2$

この円が点 $(-2, 3)$ を通るので、

$(-2-a)^2 + (3-(2a+1))^2 = (2a+1)^2$

$(a+2)^2 + (2-2a)^2 = (2a+1)^2$

$a^2 + 4a + 4 + 4a^2 - 8a + 4 = 4a^2 + 4a + 1$

$a^2 - 8a + 7 = 0$

$(a-1)(a-7) = 0$

よって $a = 1, 7$

$a=1$ のとき、中心は $(1, 3)$, 半径は $|2(1)+1| = 3$.

$a=7$ のとき、中心は $(7, 15)$, 半径は $|2(7)+1| = 15$.

したがって、半径は $3$ または $15$.

3. 最終的な答え

3, 15