問題文は全部で5つあります。 (1) 2点A(2,1), B(5,-2)から等距離にあるx軸上の点の座標を求める。 (2) 2点A(2,1), B(-3,2)から等距離にあるy軸上の点の座標を求める。 (3) A(1, 4), B(5, -2) を結ぶ線分ABを1:2に内分する点と、1:2に外分する点の座標を求める。 (4) A(4, 7), B(2, 1) を結ぶ線分ABを3:2に内分する点と、3:2に外分する点の座標を求める。 (5) A(-2, 5), B(4,3) の中点の座標を求める。 (6) 点A(-1, 2) に関して、点P(2,-5) と対称な点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

問題文は全部で5つあります。

(1) 2点A(2,1), B(5,-2)から等距離にあるx軸上の点の座標を求める。

(2) 2点A(2,1), B(-3,2)から等距離にあるy軸上の点の座標を求める。

(3) A(1, 4), B(5, -2) を結ぶ線分ABを1:2に内分する点と、1:2に外分する点の座標を求める。

(4) A(4, 7), B(2, 1) を結ぶ線分ABを3:2に内分する点と、3:2に外分する点の座標を求める。

(5) A(-2, 5), B(4,3) の中点の座標を求める。

(6) 点A(-1, 2) に関して、点P(2,-5) と対称な点Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) x軸上の点は、y座標が0なので、求める点を(x, 0)と置く。

点A(2,1)との距離は $\sqrt{(x-2)^2 + (0-1)^2}$

点B(5,-2)との距離は $\sqrt{(x-5)^2 + (0-(-2))^2}$

両者が等しいので、$\sqrt{(x-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + (0-(-2))^2}$

両辺を2乗して、$(x-2)^2 + 1 = (x-5)^2 + 4$

$x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 10x + 25 + 4$

$6x = 24$

$x = 4$

よって、求める座標は(4, 0)

(2) y軸上の点は、x座標が0なので、求める点を(0, y)と置く。

点A(2,1)との距離は $\sqrt{(0-2)^2 + (y-1)^2}$

点B(-3,2)との距離は $\sqrt{(0-(-3))^2 + (y-2)^2}$

両者が等しいので、$\sqrt{(0-2)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(0-(-3))^2 + (y-2)^2}$

両辺を2乗して、$4 + (y-1)^2 = 9 + (y-2)^2$

$4 + y^2 - 2y + 1 = 9 + y^2 - 4y + 4$

$2y = 8$

$y = 4$

よって、求める座標は(0, 4)

(3) A(1, 4), B(5, -2) を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標は

$(\frac{2*1 + 1*5}{1+2}, \frac{2*4 + 1*(-2)}{1+2}) = (\frac{7}{3}, \frac{6}{3}) = (\frac{7}{3}, 2)$

1:2に外分する点の座標は

$(\frac{-2*1 + 1*5}{1-2}, \frac{-2*4 + 1*(-2)}{1-2}) = (\frac{3}{-1}, \frac{-10}{-1}) = (-3, 10)$

(4) A(4, 7), B(2, 1) を結ぶ線分ABを3:2に内分する点の座標は

$(\frac{2*4 + 3*2}{3+2}, \frac{2*7 + 3*1}{3+2}) = (\frac{14}{5}, \frac{17}{5})$

3:2に外分する点の座標は

$(\frac{-2*4 + 3*2}{3-2}, \frac{-2*7 + 3*1}{3-2}) = (\frac{-2}{1}, \frac{-11}{1}) = (-2, -11)$

(5) A(-2, 5), B(4,3) の中点の座標は

$(\frac{-2+4}{2}, \frac{5+3}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{8}{2}) = (1, 4)$

(6) 点A(-1, 2) に関して、点P(2,-5) と対称な点Qの座標を(x, y)とすると、AはPとQの中点なので、

$\frac{x+2}{2} = -1$ => $x+2 = -2$ => $x = -4$

$\frac{y-5}{2} = 2$ => $y-5 = 4$ => $y = 9$

よって、点Qの座標は(-4, 9)

3. 最終的な答え

(1) (4, 0)

(2) (0, 4)

(3) 内分点: $(\frac{7}{3}, 2)$, 外分点: (-3, 10)

(4) 内分点: $(\frac{14}{5}, \frac{17}{5})$, 外分点: (-2, -11)

(5) (1, 4)

(6) (-4, 9)