次の2つの三角形 $ABC$ について、指定された辺の長さを求めます。 (1) $c = \sqrt{2}, B = 30^\circ, C = 45^\circ$ のとき、$b$ を求めます。 (2) $a = 2, A = 45^\circ, C = 120^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2つの三角形 $ABC$ について、指定された辺の長さを求めます。

(1) $c = \sqrt{2}, B = 30^\circ, C = 45^\circ$ のとき、$b$ を求めます。

(2) $a = 2, A = 45^\circ, C = 120^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を利用します。正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

なので、

$b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

与えられた値を代入して、

$b = \frac{\sqrt{2} \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

(2) まず、角$B$の大きさを求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

次に、正弦定理を利用します。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$

なので、

$c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

与えられた値を代入して、

$c = \frac{2 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 1$

(2) $c = \sqrt{6}$