3点の座標が与えられたとき、直線ABの方程式、点Cと直線ABの距離、三角形ABCの面積を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

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9. 3点 A(-1, 2), B(5, -1), C(6, 1) について、次の問いに答えよ。**

(1) 直線 AB の方程式を求めよ。

(2) 点 C と直線 AB の距離を求めよ。

(3) △ABC の面積を求めよ。

1. 問題の内容

3点の座標が与えられたとき、直線ABの方程式、点Cと直線ABの距離、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

まず、直線ABの傾きを求める。

$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

次に、点A(-1, 2) を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺を2倍して整理すると、

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点C(6, 1) と直線 AB $x + 2y - 3 = 0$ の距離を求める。

点と直線の距離の公式は、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

これに、点C(6, 1) と直線 $x + 2y - 3 = 0$ を代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot 6 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) △ABC の面積を求める。

△ABC の面積は、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて計算できる。

$\overrightarrow{AB} = (5 - (-1), -1 - 2) = (6, -3)$

$\overrightarrow{AC} = (6 - (-1), 1 - 2) = (7, -1)$

△ABC の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} |(6 \cdot (-1) - (-3) \cdot 7)| = \frac{1}{2} |(-6 + 21)| = \frac{1}{2} |15| = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 直線 AB の方程式: $x + 2y - 3 = 0$

(2) 点 C と直線 AB の距離: $\sqrt{5}$

(3) △ABC の面積: $\frac{15}{2}$