三角形ABCにおいて、a=7, b=3, c=8であるとき、この三角形の内接円の半径rを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、a=7, b=3, c=8であるとき、この三角形の内接円の半径rを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いてcos Aの値を求めます。

余弦定理は以下の式で表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この式を変形すると、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

したがって、cos A = 1/2。

次に、Aの値を求めます。

$\cos A = \frac{1}{2}$を満たすAの値は、A = 60°です。

度数法で表記すれば、$A = 60^\circ$です。

次に、三角形ABCの面積Sを求めます。

$S = \frac{1}{2}bc \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

したがって、$S = 6\sqrt{3}$

最後に、内接円の半径rを求めます。

三角形の面積Sは、内接円の半径rと三角形の周長sを用いて、$S = rs$と表すことができます。ここで、$s = \frac{a+b+c}{2}$です。

$s = \frac{7+3+8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

したがって、$S = 9r$

$6\sqrt{3} = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

したがって、$r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{1}{2}$

$A = 60$

$S = 6\sqrt{3}$

$r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$