三角形ABCにおいて、$a=4, b=3, c=2$のとき、$\cos A = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$、$\sin A = \frac{\sqrt{\boxed{キク}}}{\boxed{ケ}}$であるから、面積は$\boxed{コサシ}$である。空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4, b=3, c=2$のとき、$\cos A = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$、$\sin A = \frac{\sqrt{\boxed{キク}}}{\boxed{ケ}}$であるから、面積は$\boxed{コサシ}$である。空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$である。

この式を変形して$\cos A$について解くと、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$となる。

与えられた値を代入すると、$\cos A = \frac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$となる。

よって、$\boxed{オ} = -1, \boxed{カ} = 4$である。

次に、$\sin A$を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を利用する。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (ただし、$\sin A > 0$とする)

よって、$\boxed{キク} = 15, \boxed{ケ} = 4$である。

最後に、三角形の面積を求める。面積Sは、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$で求められる。

与えられた値を代入すると、$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{6\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$である。

よって、$\boxed{コサシ} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$となる。

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{-1}{4}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

面積 = $\frac{3\sqrt{15}}{4}$