座標平面上に4点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $P(-1,3)$, $Q(1,1)$ がある。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とする。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とする。 (1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表す。 (2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針を立て、それに基づいて $S$ の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に4点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $P(-1,3)$, $Q(1,1)$ がある。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とする。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とする。

(1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表す。

(2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針を立て、それに基づいて $S$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $R$ の座標を求める。点 $R$ は線分 $PQ$ 上にあるので、直線 $PQ$ の方程式を求める。直線 $PQ$ の傾きは $\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ である。点 $Q(1,1)$ を通るので、直線 $PQ$ の方程式は $y - 1 = -1(x - 1)$、すなわち $y = -x + 2$ である。点 $R$ の $x$ 座標は $a$ なので、$R(a, -a+2)$ となる。

次に、線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を求める。$M$ の $x$ 座標は $\frac{-1 + a}{2} = \frac{a-1}{2}$ で、$y$ 座標は $\frac{0 + (-a+2)}{2} = \frac{-a+2}{2}$ である。したがって、$M(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$ となる。

(2) 外接円の中心 $S$ は、三角形 $ABR$ の各辺の垂直二等分線の交点である。特に、線分 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AR$ の垂直二等分線の交点である。線分 $AB$ の中点は $(0, 0)$ であり、傾きは存在しない（$x$軸上にある）。そのため、垂直二等分線は $x=0$ である。つまり、$S$ の $x$ 座標は 0 である。したがって、$S$ は線分 $AB$ の垂直二等分線上にある。さらに、$S$ は線分 $AR$ の垂直二等分線上にもある。

線分 $AR$ の中点 $M$ は $(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$ である。線分 $AR$ の傾きは $\frac{-a+2-0}{a-(-1)} = \frac{-a+2}{a+1}$ である。線分 $AR$ の垂直二等分線の傾きは $\frac{-(a+1)}{-a+2} = \frac{a+1}{a-2}$ である。したがって、線分 $AR$ の垂直二等分線の方程式は $y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(x - \frac{a-1}{2})$ である。$S$ の $x$ 座標は $0$ なので、$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(0 - \frac{a-1}{2})$、$y = \frac{-a+2}{2} - \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} = \frac{(-a+2)(a-2) - (a^2-1)}{2(a-2)} = \frac{-a^2+4a-4 -a^2+1}{2(a-2)} = \frac{-2a^2+4a-3}{2(a-2)} = \frac{-2a^2+4a-3}{2a-4}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $M(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$

ア: a, イ: 1, ウ: 2, エオ: -a, カ: 2, キ: 2

(2) ク: 0, ケ: 1

$S(0, \frac{-2a^2+4a-3}{2a-4})$

コ: 0, サシ: -2, ス: 4, セ: 3, ソ: 2, タ: 4