座標平面上に4点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $P(-1,3)$, $Q(1,1)$ がある。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とする。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とする。 (1) 線分 $AR$ の中点を $M$ とする。$M$ の座標を $a$ を用いて表す。 (2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に4点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $P(-1,3)$, $Q(1,1)$ がある。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とする。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とする。

(1) 線分 $AR$ の中点を $M$ とする。$M$ の座標を $a$ を用いて表す。

(2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $R$ は線分 $PQ$ 上にあるので、線分 $PQ$ の方程式を求める。線分 $PQ$ の傾きは $\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ である。よって、線分 $PQ$ の方程式は、$y - 1 = -(x-1)$ より、$y = -x+2$ である。点 $R$ の座標は $(a, -a+2)$ と表せる。

点 $A(-1, 0)$ と点 $R(a, -a+2)$ の中点 $M$ の座標は、

$M = \left(\frac{-1+a}{2}, \frac{0+(-a+2)}{2}\right) = \left(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2}\right)$

となる。

(2) 外接円の中心 $S$ は、線分 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AR$ の垂直二等分線の交点である。なぜなら、外接円の中心は、三角形の各頂点からの距離が等しいからである。

線分 $AB$ の垂直二等分線は、$x=0$ である。したがって、点 $S$ の $x$ 座標は 0 である。

$S$ の $x$ 座標は 0 であるから、$S=(0, y)$ とおく。

$AS = BS = RS$ である。

$AS^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 1 + y^2$

$BS^2 = (0 - 1)^2 + (y - 0)^2 = 1 + y^2$

$RS^2 = (0 - a)^2 + (y - (-a+2))^2 = a^2 + (y+a-2)^2$

$AS^2 = RS^2$ より、$1 + y^2 = a^2 + (y+a-2)^2$

$1 + y^2 = a^2 + y^2 + 2(a-2)y + (a-2)^2$

$1 = a^2 + 2(a-2)y + a^2 - 4a + 4$

$2(2-a)y = 2a^2 - 4a + 3$

$y = \frac{2a^2 - 4a + 3}{2(2-a)} = \frac{2a^2 - 4a + 3}{4-2a} = \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2a - 4}$

$S = \left(0, \frac{2a^2 - 4a + 3}{4-2a}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $M = \left(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2}\right)$

ア: 1, イ: 1, ウ: 2, エオ: 2, カ: 2, キ: 2

(2) ク: 0, ケ: 1

コ: 0, サシ: 2, ス: 4, セ: 3, ソ: -2, タ: 4

$S = \left(0, \frac{2a^2 - 4a + 3}{-2a + 4}\right)$