平行四辺形ABCDにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{BC}$の内積を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{BC}$の内積を求めよ。

2. 解き方の手順

内積の定義より、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{\theta}$である。ここで、$\theta$はベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{BC}$のなす角である。

図より、$|\overrightarrow{AB}| = 2$である。また、平行四辺形の性質より、$|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$である。

$\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$であるから、$\theta = 150^{\circ}$となる。

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{150^{\circ}} = 2 \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$となる。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{3}$