海岸の2点A, Bは200m離れており、島にある地点Cから見た角度がそれぞれ$\angle CAB = 135^\circ$、$\angle CBA = 15^\circ$ である。このとき、BとCの間の距離を求める。

1. 問題の内容

海岸の2点A, Bは200m離れており、島にある地点Cから見た角度がそれぞれ$\angle CAB = 135^\circ$、$\angle CBA = 15^\circ$ である。このとき、BとCの間の距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が180度であることから、$\angle ACB$ を求める。

$$\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - 135^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$

次に、正弦定理を用いて、BCの長さを求める。正弦定理は、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

今回の問題では、$AB=c=200$m、$BC=a$、$\angle ACB = C = 30^\circ$、$\angle CAB = A = 135^\circ$であるから、

$$\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{200}{\sin 30^\circ}$$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ を代入して、

$$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{200}{\frac{1}{2}}$$

$$a = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{200}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \times 200 = 200\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

B, C間の距離は $200\sqrt{2}$ m