四面体OABCにおいて、辺OAを1:3に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCの中点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。 (1) $\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OG}$をそれぞれ$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。 (2) $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OG}$とおくとき、$k$の値を求め、OG:GPを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを1:3に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCの中点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。

(1) $\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OG}$をそれぞれ$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

(2) $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OG}$とおくとき、$k$の値を求め、OG:GPを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OD}$は辺OAを1:3に内分する点なので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{1+3} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OG}$は三角形DEFの重心なので、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}}{3}$

ここで、$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$だから、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}}{3} = \frac{1}{12}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$

(2)

点Pは直線OG上にあるので、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OG}$ と表せる。また点Pは平面ABC上にあるので、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ と表せ、かつ $s+t+u = 1$ が成立する。

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OG} = k(\frac{1}{12}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC}) = \frac{k}{12}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{6}\overrightarrow{OB} + \frac{k}{6}\overrightarrow{OC}$

よって、$s = \frac{k}{12}, t = \frac{k}{6}, u = \frac{k}{6}$ であり、$s+t+u = 1$ に代入すると、

$\frac{k}{12} + \frac{k}{6} + \frac{k}{6} = 1$

$\frac{k}{12} + \frac{2k}{12} + \frac{2k}{12} = 1$

$\frac{5k}{12} = 1$

$k = \frac{12}{5}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{12}{5}\overrightarrow{OG}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{5}{12}\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{GP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OP} - \frac{5}{12}\overrightarrow{OP} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OP}$

$OG:GP = \frac{5}{12}:\frac{7}{12} = 5:7$

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{12}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$

(2)

$k = \frac{12}{5}$

OG:GP = 5:7