半径 $x$ mの円形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$, 道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ が成り立つことを証明するために、以下の問いに答える。 (1) $S$ を $x, a$ の式で表す。 (2) $l$ を $x, a$ の式で表す。 (3) (1), (2) の結果から, $S=al$ となることを示す。

1. 問題の内容

半径 $x$ mの円形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$, 道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ が成り立つことを証明するために、以下の問いに答える。

(1) $S$ を $x, a$ の式で表す。

(2) $l$ を $x, a$ の式で表す。

(3) (1), (2) の結果から, $S=al$ となることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積 $S$ は、半径 $x+a$ の円の面積から、半径 $x$ の円の面積を引いたものである。

よって、

$S = \pi (x+a)^2 - \pi x^2$

$S = \pi (x^2 + 2ax + a^2) - \pi x^2$

$S = \pi x^2 + 2\pi a x + \pi a^2 - \pi x^2$

$S = 2\pi a x + \pi a^2$

$S = \pi a(2x + a)$

(2) 道の中央を通る線の長さ $l$ は、半径 $x+\frac{a}{2}$ の円周の長さである。

よって、

$l = 2\pi (x+\frac{a}{2})$

$l = 2\pi x + \pi a$

(3) $al$ を計算し、$S$ と等しくなることを示す。

$al = a(2\pi x + \pi a)$

$al = 2\pi a x + \pi a^2$

$al = \pi a (2x+a)$

(1) の結果より、$S = \pi a (2x+a)$ であり、

$al = \pi a (2x+a)$ であるから、

$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi a(2x+a)$

(2) $l = 2\pi x + \pi a$

(3) $S = al$ となることを示した