三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $BC = 6$である。角Bの二等分線と辺CAの交点をDとし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。$AD = 3$であるとき、線分DCとBEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $BC = 6$である。角Bの二等分線と辺CAの交点をDとし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。$AD = 3$であるとき、線分DCとBEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用する。

角Bの二等分線により、

$AD:DC = AB:BC$

$3:DC = 9:6$

$9DC = 18$

$DC = 2$

次に、三角形の外角の二等分線の性質を利用する。

角Aの外角の二等分線により、

$BE:CE = AB:AC$

ここで、$AC = AD + DC = 3 + 2 = 5$であるから、

$BE:CE = 9:5$

$CE = BC + BE = 6 + BE$を代入すると、

$BE:(6 + BE) = 9:5$

$5BE = 9(6 + BE)$

$5BE = 54 + 9BE$

$-4BE = 54$

$BE = -\frac{54}{4} = -\frac{27}{2}$

しかし、BEの長さは正であるべきなので、絶対値を取る必要がある。外角の二等分線の交点EはCに関してBとは反対側にあるため、

$BE:CE = AB:AC$

$BE:(6 + BE) = 9:5$

$5BE = 54 + 9BE$

$-4BE = 54$

これは適切ではない。

正しくは、EがBCの延長上にあることから、

$BE:AE = BC:CA$は誤り。

$BE:CE = AB:AC$より、$BE:(BC+BE) = AB:AC$。

$BE:(6+BE) = 9:5$が誤り。

正しくは、$CE = BE - 6$ (EはCより先にくる)

$BE:(BE-6) = 9:5$

$5BE = 9(BE-6)$

$5BE = 9BE - 54$

$4BE = 54$

$BE = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$

3. 最終的な答え

$DC = 2$

$BE = \frac{27}{2} = 13.5$