円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $(a, -3a)$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $(a, -3a)$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、点 $(a, -3a)$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ 上にあることから、$a$ の値を求めます。

次に、円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $x_1x + y_1y = r^2$ で表されることを利用して、接線の方程式を求めます。

ステップ1: 点 $(a, -3a)$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ 上にあることから、$a$ の値を求める。

$x = a, y = -3a$ を円の式に代入すると、

$a^2 + (-3a)^2 = 10$

$a^2 + 9a^2 = 10$

$10a^2 = 10$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

条件 $a > 0$ より、$a = 1$ となります。

ステップ2: 点 $(a, -3a)$ は $(1, -3)$ であるから、円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $(1, -3)$ における接線の方程式を求める。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられます。

今回の場合は、$x_1 = 1, y_1 = -3, r^2 = 10$ であるから、接線の方程式は

$1 \cdot x + (-3) \cdot y = 10$

$x - 3y = 10$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $x - 3y = 10$ です。