$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角の大きさ $B, C$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いてみましょう。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角の大きさ $B, C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$a$ の長さを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3})\cos 60^\circ$

$a^2 = 4 + (1+2\sqrt{3}+3) - 4(1+\sqrt{3})\cdot\frac{1}{2}$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2(1+\sqrt{3})$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$a^2 = 6$

$a = \sqrt{6}$

正弦定理を用いて、$B$ の大きさを求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$B = 45^\circ$

$C$ の大きさを求めます。

$A + B + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ$

$C = 75^\circ$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{6}$

$B = 45^\circ$

$C = 75^\circ$