原点$(0, 0)$と直線$2x - 3y + 6 = 0$との距離を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題28 (1)**

1. 問題の内容

原点$(0, 0)$と直線$2x - 3y + 6 = 0$との距離を求める。

2. 解き方の手順

点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$との距離$d$は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、点$(x_0, y_0) = (0, 0)$、直線$2x - 3y + 6 = 0$なので、$a = 2$, $b = -3$, $c = 6$です。

したがって、距離$d$は

$d = \frac{|2(0) - 3(0) + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{6\sqrt{13}}{13}$

**問題28 (2)**

1. 問題の内容

点$(-2, 5)$と直線$y = -4x + 1$との距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式を$ax + by + c = 0$の形に変形します。

$y = -4x + 1$を整理すると、$4x + y - 1 = 0$となります。

したがって、$a = 4$, $b = 1$, $c = -1$となります。

点$(x_0, y_0) = (-2, 5)$と直線$4x + y - 1 = 0$との距離$d$は、公式

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

を用いて、

$d = \frac{|4(-2) + 1(5) - 1|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \frac{|-8 + 5 - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{17}}{17}$

**問題29 (1)**

1. 問題の内容

2点A$(-1, 2)$、B$(5, -1)$を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

直線の傾き$m$は、2点$(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$を通る場合、

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

で求められる。

A$(-1, 2)$、B$(5, -1)$を通るので、$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$。

直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$で表せるので、点A$(-1, 2)$と傾き$m = -\frac{1}{2}$を用いると、

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺を2倍して整理すると、

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

3. 最終的な答え

$x + 2y - 3 = 0$

**問題29 (2)**

1. 問題の内容

点C$(6, 1)$と直線AB（$x + 2y - 3 = 0$）の距離を求める。

2. 解き方の手順

点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$との距離$d$は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、点$(x_0, y_0) = (6, 1)$、直線$x + 2y - 3 = 0$なので、$a = 1$, $b = 2$, $c = -3$です。

したがって、距離$d$は

$d = \frac{|1(6) + 2(1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$

**問題29 (3)**

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$で求められます。

ここでは、ABを底辺、CからABへの距離を高さとして計算します。

まず、ABの長さを求めます。A$(-1, 2)$、B$(5, -1)$なので、ABの長さは

$\sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

CからABへの距離は、問題29 (2)で求めた$\sqrt{5}$です。

したがって、三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{2}$