3つの図それぞれについて、点Pを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

3つの図それぞれについて、点Pを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形ABCの面積を求めます。

次に、点Pを通る直線が辺BCと交わる点をDとします。三角形ABCの面積の半分になるように点Dの位置を決めます。

最後に、点Pと点Dを通る直線の式を求めます。

具体的な手順は以下の通りです。

ステップ1: 三角形ABCの面積を求める。

点A(3,5), B(-2,0), C(6,0)です。

BCを底辺とすると、BCの長さは$6 - (-2) = 8$となります。

高さは点Aのy座標なので、5となります。

三角形ABCの面積は、$8 \times 5 \times \frac{1}{2} = 20$です。

ステップ2: 点Pを通る直線が辺BCと交わる点をD(x,0)とすると、三角形PBDの面積は10である必要がある。

点P(2,4), B(-2,0), D(x,0)です。

BDを底辺とすると、BDの長さは$x - (-2) = x+2$となります。

高さは点Pのy座標なので、4となります。

三角形PBDの面積は、$\frac{1}{2} \times (x+2) \times 4 = 2(x+2)$ です。これが10に等しいので、

$2(x+2) = 10$

$x+2 = 5$

$x = 3$

よって、点Dは(3,0)です。

ステップ3: 点P(2,4)と点D(3,0)を通る直線の式を求めます。

傾きは$\frac{0-4}{3-2} = -4$です。

y切片をbとすると、$0 = -4 \times 3 + b$より、$b = 12$です。

よって、求める直線の式は$y = -4x + 12$です。

(2)

点A(5,7), B(0,2), C(8,0), P(3,5)

ステップ1: 三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(5-8)(2-7) - (5-0)(0-7)|$

$S = \frac{1}{2} |(-3)(-5) - (5)(-7)|$

$S = \frac{1}{2} |15 + 35| = \frac{1}{2} \times 50 = 25$

ステップ2: 点Pを通る直線が辺BCと交わる点をD(x,y)とする。

直線BCの式は、$y = \frac{0-2}{8-0}x + 2 = -\frac{1}{4}x + 2$です。

したがって、Dは$(x, -\frac{1}{4}x + 2)$と表せる。

三角形BCDの面積は$\frac{25}{2} = 12.5$である。

点B(0,2), C(8,0), D(x, $-\frac{1}{4}x+2)$

$S = \frac{1}{2} |(0-8)(-\frac{1}{4}x + 2 - 2) - (0-x)(0-2)|$

$S = \frac{1}{2} |(-8)(-\frac{1}{4}x) - (-x)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |2x - 2x| = \frac{1}{2} |0| = 0$

この式では解けない

メネラウスの定理を使う

辺BC上に点Dがある場合、点Dは点Pを通り三角形ABCの面積を二等分するため、直線PDは三角形ABCを二等分する

中点Mを通り、直線BCと点Mで交わる。

M($\frac{5+0}{2}, \frac{7+2}{2}$) = (2.5, 4.5)

直線PMの式は $y = \frac{4.5-5}{2.5-3} x + b$

$y = x + b$

5 = 3 + b => b = 2

y = x + 2

(3)

点A(4,7), B(0,1), C(8,3), P(7,4)

直線ABの式は傾き$\frac{7-1}{4-0}=\frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x+1$

点CからABに下ろした垂線の長さは$\frac{|\frac{3}{2} \times 8-3 +1|}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 +1}} = \frac{|12 - 3 + 1|}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{13}}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times \frac{20}{\sqrt{13}}$

AB = $\sqrt{(4-0)^2+(7-1)^2}=\sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} \times \frac{20}{\sqrt{13}} = 20$

ABの中点($\frac{4+0}{2},\frac{7+1}{2}) = (2,4) = D$

PD : $y = a(x-7)+4$

4 = a(2-7)+4

0 = -5a

a = 0

y = 4

3. 最終的な答え

(1) $y = -4x + 12$

(2) $y = x + 2$

(3) $y = 4$