点Oを中心とする半径1の円に三角形ABCが内接している。$5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} + 7 \vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つとき、内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$のなす角、辺BC、CAの長さ、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に三角形ABCが内接している。$5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} + 7 \vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つとき、内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$のなす角、辺BC、CAの長さ、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} + 7 \vec{OC} = \vec{0}$を変形する。

$7 \vec{OC} = -5 \vec{OA} - 8 \vec{OB}$

両辺の絶対値の2乗を計算する。

$49 |\vec{OC}|^2 = 25 |\vec{OA}|^2 + 80 \vec{OA} \cdot \vec{OB} + 64 |\vec{OB}|^2$

ここで、$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = 1$なので、

$49 = 25 + 80 \vec{OA} \cdot \vec{OB} + 64$

$80 \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 49 - 25 - 64 = -40$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = -\frac{40}{80} = -\frac{1}{2}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos \theta = \cos \theta$ より、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{2}{3} \pi = 120^\circ$

次に、辺BCとCAの長さを求める。

$7 \vec{OC} = -5 \vec{OA} - 8 \vec{OB}$ を $7 \vec{OC} + 5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} = 0$と変形し、$5 \vec{OA} = - 7\vec{OC} - 8 \vec{OB}$とする.

$\vec{OA} = -\frac{7}{5} \vec{OC} - \frac{8}{5} \vec{OB}$となる。

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = -\frac{7}{5} \vec{OC} - \frac{8}{5} \vec{OB} - \vec{OC} = -\frac{12}{5} \vec{OC} - \frac{8}{5} \vec{OB} = -\frac{4}{5}(3 \vec{OC} + 2 \vec{OB})$

$|\vec{CA}|^2 = \frac{16}{25} |3 \vec{OC} + 2 \vec{OB}|^2 = \frac{16}{25} (9 |\vec{OC}|^2 + 12 \vec{OC} \cdot \vec{OB} + 4 |\vec{OB}|^2)$

$= \frac{16}{25} (9 + 12 \cos(\angle BOC) + 4) = \frac{16}{25} (13 + 12 \cos (\angle BOC))$

$5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} + 7 \vec{OC} = \vec{0}$より、$5\vec{OA} + 8\vec{OB} = -7\vec{OC}$　

$|5\vec{OA} + 8\vec{OB}|^2 = |-7\vec{OC}|^2$

$25 + 80 \vec{OA} \cdot \vec{OB} + 64 = 49$

$25 + 64 + 80(-\frac{1}{2}) = 49$ (OK)

$BC^2 = (\vec{OC} - \vec{OB})^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OB} + |\vec{OB}|^2 = 2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OB} = 2 - 2\cos(\angle BOC)$

$CA^2 = \frac{16}{25} (13 + 12 \cos(\angle BOC))$

$|\vec{OC}|^2=1$

$5 \vec{OA} + 8 \vec{OB} = -7 \vec{OC}$

$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$

$\vec{OA}\cdot\vec{OB}= -1/2$

$|\vec{BC}|^2 = BC^2 = |\vec{OC}-\vec{OB}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OB} + |\vec{OB}|^2 = 1+1-2\vec{OC}\cdot\vec{OB} = 2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OB}$

$|\vec{BC}|^2 = 2 - 2cos(\angle BOC)$

$5|\vec{OA}|+8|\vec{OB}|+7|\vec{OC}| = 0$ (これは成り立たない)

$|\vec{CA}| = \sqrt{13}$，$|\vec{BC}| = \sqrt{21}$

$\vec{OC} = - \frac{5}{7} \vec{OA} - \frac{8}{7} \vec{OB}$

$BC^2 = |OC - OB|^2 = OC^2 + OB^2 - 2 OC \cdot OB$

$= | - \frac{5}{7} OA - \frac{8}{7} OB - OB |^2 = | - \frac{5}{7} OA - \frac{15}{7} OB|^2$

$= \frac{1}{49}|-5OA-15OB|^2 = \frac{1}{49}(25+225+2*(-5)(-15)(-1/2)) = \frac{250+75}{49}= \frac{325}{49}$

$BC = \frac{5\sqrt{13}}{7}$

$CA = |OA - OC|^2 = | OA + \frac{5}{7}OA + \frac{8}{7}OB|^2 = | \frac{12}{7} OA + \frac{8}{7} OB|^2$

$=\frac{1}{49}(144+64+2*\frac{12*8}{4}) = \frac{144+64 -96}{49}= \frac{112}{49}= \frac{16}{7}$

$CA = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

$OA \cdot OB = -1/2$, $OA \perp OB$ のなす角120°，$BC=\sqrt{\frac{325}{49}}$，$CA=\sqrt{\frac{112}{49}}$, 面積 = $\sqrt{39}/16$

3. 最終的な答え

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = -\frac{1}{2}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$のなす角は $120^\circ$

$BC = \frac{5\sqrt{13}}{7}$

$CA = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

$\triangle ABC$の面積は$\frac{\sqrt{39}}{14}$