点P(3,5)を通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求めよ。ただし、A(5,7), B(0,2), C(8,0)である。

1. 問題の内容

点P(3,5)を通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求めよ。ただし、A(5,7), B(0,2), C(8,0)である。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を二等分する直線は、少なくとも一つの頂点を通るか、二つの辺上の点を通る。

今回は点Pを通る直線を求める必要があるため、直線が辺ABまたはACと交わる場合を考える。

まず、三角形ABCの面積を求める。

次に、点Pを通る直線が辺ACと交わる点D、または辺ABと交わる点Eを仮定し、それぞれの面積が三角形ABCの面積の半分になるようなD,Eを求める。

(1) 三角形ABCの面積を求める

点A(5,7), B(0,2), C(8,0)を頂点とする三角形ABCの面積Sは、以下の式で求められる。

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(5 - 8)(2 - 7) - (5 - 0)(0 - 7)|$

$S = \frac{1}{2} |(-3)(-5) - (5)(-7)|$

$S = \frac{1}{2} |15 + 35|$

$S = \frac{1}{2} |50|$

$S = 25$

(2) 点P(3,5)を通る直線が辺ACと交わる場合

点Dを辺AC上の点とし、D(x,y)とする。

点Dは線分AC上にあるので、直線AC上の点であり、点Aと点Cの座標から直線ACの式を求める。

直線ACの傾きは、$\frac{7 - 0}{5 - 8} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3}$

直線ACの式は、$y = -\frac{7}{3} (x - 8)$ となる。

$y = -\frac{7}{3}x + \frac{56}{3}$

三角形APDの面積が三角形ABCの面積の半分であるとき、$S_{APD} = \frac{25}{2}$となる。

$S_{APD} = \frac{1}{2} | (5 - x) (5 - 7) - (3 - 5) (7 - y) |$

$\frac{25}{2} = \frac{1}{2} | (5 - x) (-2) - (-2) (7 - y) |$

$25 = | -10 + 2x + 14 - 2y |$

$25 = | 2x - 2y + 4 |$

$2x - 2y + 4 = 25$ または $2x - 2y + 4 = -25$

$2x - 2y = 21$ または $2x - 2y = -29$

$y = -\frac{7}{3}x + \frac{56}{3}$ を代入すると、

$2x - 2(-\frac{7}{3}x + \frac{56}{3}) = 21$ または $2x - 2(-\frac{7}{3}x + \frac{56}{3}) = -29$

$6x + 14x - 112 = 63$ または $6x + 14x - 112 = -87$

$20x = 175$ または $20x = 25$

$x = \frac{175}{20} = \frac{35}{4} = 8.75$ または $x = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} = 1.25$

$x = 8.75$のとき、$y = -\frac{7}{3} * \frac{35}{4} + \frac{56}{3} = \frac{-245}{12} + \frac{224}{12} = \frac{-21}{12} = \frac{-7}{4}$

$x = 1.25$のとき、$y = -\frac{7}{3} * \frac{5}{4} + \frac{56}{3} = \frac{-35}{12} + \frac{224}{12} = \frac{189}{12} = \frac{63}{4}$

D($\frac{35}{4}$, $\frac{-7}{4}$), or D($\frac{5}{4}$, $\frac{63}{4}$)

(3) 点P(3,5)と点D($\frac{5}{4}$, $\frac{63}{4}$)を通る直線の式を求める

傾きは、$\frac{5 - \frac{63}{4}}{3 - \frac{5}{4}} = \frac{\frac{20 - 63}{4}}{\frac{12 - 5}{4}} = \frac{-43}{7}$

直線の式は、$y - 5 = -\frac{43}{7} (x - 3)$

$y = -\frac{43}{7}x + \frac{129}{7} + \frac{35}{7}$

$y = -\frac{43}{7}x + \frac{164}{7}$

3. 最終的な答え

点P(3,5)を通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の式は、$y = -\frac{43}{7}x + \frac{164}{7}$である。