(1) 直線 $l: 2x-y-4=0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。また、点 $C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるような点 $P$ の座標を求める。 (2) $x, y$ を実数とする。$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l: 2x-y-4=0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。また、点 $C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるような点 $P$ の座標を求める。

(2) $x, y$ を実数とする。$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $B$ の座標を $(a, b)$ とする。

$A$ と $B$ の中点は $(\frac{1+a}{2}, \frac{3+b}{2})$ であり、これは直線 $l$ 上にあるから、

$2(\frac{1+a}{2}) - (\frac{3+b}{2}) - 4 = 0$

$2(1+a) - (3+b) - 8 = 0$

$2 + 2a - 3 - b - 8 = 0$

$2a - b - 9 = 0$

$2a - b = 9$ ...(i)

直線 $AB$ は直線 $l$ と直交するので、その傾きの積は $-1$ となる。

直線 $l$ の傾きは $2$ であり、直線 $AB$ の傾きは $\frac{b-3}{a-1}$ であるから、

$2(\frac{b-3}{a-1}) = -1$

$2(b-3) = -a+1$

$2b - 6 = -a+1$

$a + 2b = 7$ ...(ii)

(i), (ii) を連立して解くと、

$2a - b = 9$

$a + 2b = 7$

(i) + 2(ii) より

$2a - b + 2a + 4b = 9 + 14$

$4a + 3b = 23$

(i)から$b = 2a - 9$、これを(ii)に代入すると

$a + 2(2a - 9) = 7$

$a + 4a - 18 = 7$

$5a = 25$

$a = 5$

$b = 2(5) - 9 = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(5, 1)$ である。

次に、$AP+PC$ が最小となる点 $P$ を求める。これは、点 $A$ の直線 $l$ に関する対称点 $B(5, 1)$ と点 $C(3, 5)$ を結ぶ直線が直線 $l$ と交わる点となる。

直線 $BC$ の方程式は、

$\frac{y-1}{x-5} = \frac{5-1}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$

$y - 1 = -2(x-5)$

$y - 1 = -2x + 10$

$y = -2x + 11$

この直線と $l: 2x-y-4=0$ の交点を求める。

$y = 2x-4$ であるから、$y = -2x+11$ に代入すると、

$2x - 4 = -2x + 11$

$4x = 15$

$x = \frac{15}{4}$

$y = 2(\frac{15}{4}) - 4 = \frac{15}{2} - \frac{8}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、$P$ の座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$ である。

(2)

$x = \cos\theta, y = \sin\theta$ とおくと、

$2x + y = 2\cos\theta + \sin\theta$

$2\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2^2 + 1^2}\sin(\theta + \alpha)$ (ただし、$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$)

$2\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

$-1 \le \sin(\theta + \alpha) \le 1$ より、

$-\sqrt{5} \le \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha) \le \sqrt{5}$

したがって、最大値は $\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(5, 1)$

点Pの座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$

(2) $2x + y$ の最大値は $\sqrt{5}$