関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に2点 A, B があり、それぞれの x 座標は -4, 2 である。直線 AB と y 軸との交点を C とする。 (1) 直線 AB の式を求める。 (2) 原点 O を通り、三角形 AOB の面積を2等分する直線の式を求める。 (3) 三角形 AOB と三角形 CAD の面積が等しくなるような、半直線 AO 上の点 D の座標を求める。 (4) 三角形 AOB の面積が三角形 AEC の面積の4倍となるように、線分 OA 上に点 E をとる。直線 CE の式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に2点 A, B があり、それぞれの x 座標は -4, 2 である。直線 AB と y 軸との交点を C とする。

(1) 直線 AB の式を求める。

(2) 原点 O を通り、三角形 AOB の面積を2等分する直線の式を求める。

(3) 三角形 AOB と三角形 CAD の面積が等しくなるような、半直線 AO 上の点 D の座標を求める。

(4) 三角形 AOB の面積が三角形 AEC の面積の4倍となるように、線分 OA 上に点 E をとる。直線 CE の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 A の座標は $(-4, \frac{1}{2}(-4)^2) = (-4, 8)$、点 B の座標は $(2, \frac{1}{2}(2)^2) = (2, 2)$。

直線 AB の傾きは $\frac{2-8}{2-(-4)} = \frac{-6}{6} = -1$。

直線 AB の式を $y = -x + b$ とおき、点 B(2, 2) を代入すると、$2 = -2 + b$ より $b = 4$。

したがって、直線 AB の式は $y = -x + 4$。

(2)

三角形 AOB の面積を2等分する直線は、辺 AB の中点を通る。

AB の中点 M の座標は $(\frac{-4+2}{2}, \frac{8+2}{2}) = (-1, 5)$。

原点 O(0, 0) と点 M(-1, 5) を通る直線の式は $y = -5x$。

(3)

直線 AO の式は $y = \frac{8-0}{-4-0}x = -2x$。

三角形 AOB の面積は、点 B から x 軸に下ろした垂線の足を B' とすると、三角形 OBB' の面積 + 台形 BB'A'A - 三角形 OAA' の面積。

三角形 OBB' の面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。点 A から x 軸に下ろした垂線の足を A' とすると、A'(-4,0)。

台形 BB'A'A の面積は $\frac{1}{2} \times (2+8) \times (2-(-4)) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$。

三角形 OAA' の面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$。

三角形 AOB の面積は $2+30-16 = 16$。

点 D の座標を $(x, y)$ とすると、$y = -2x$。三角形 CAD の面積は $\frac{1}{2} |(x_C-x_A)(y_D-y_A) - (x_A-x_D)(y_A-y_C)|$

点 C の座標は、直線 $y = -x+4$ の y 切片なので (0, 4)。

三角形 CAD の面積は $\frac{1}{2} |(0-(-4))(-2x-8) - (-4-x)(8-4)| = \frac{1}{2} |4(-2x-8) - (-4-x)4| = \frac{1}{2} |-8x-32 + 16 + 4x| = \frac{1}{2} |-4x-16| = |-2x-8|$

三角形 AOB の面積と三角形 CAD の面積が等しいので、 $|-2x-8| = 16$。

$-2x-8 = 16$ または $-2x-8 = -16$。

$-2x = 24$ より $x = -12$。または $-2x = -8$ より $x = 4$。

点 D は半直線 AO 上にあるので $x<0$。したがって $x = -12$。

$y = -2(-12) = 24$。点 D の座標は (-12, 24)。

(4)

三角形 AOB の面積が 16 である。三角形 AEC の面積は $16/4 = 4$。

点 E は線分 OA 上にある。AE の長さを h とすると、三角形 AEC の面積は $\frac{1}{2} \times AC \times h \sin \theta = 4$。点 A (-4, 8) から原点 O(0, 0) までの距離 $OA = \sqrt{(-4)^2+8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。直線 AO の式は $y = -2x$。CE の式を求める。

三角形 AOB の面積 = 16、三角形 AEC の面積 = 4。

面積比より、AE = OA/2。E は OA の中点。

Eの座標は $(-2, 4)$。C の座標は $(0, 4)$。CE の式は $y = 4$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 4$

(2) $y = -5x$

(3) $(-12, 24)$

(4) $y = 4$