媒介変数 $t$ を用いて $x = t + \frac{1}{t} + 1$ 、 $y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の方程式を求め、その概形を描く問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = t + \frac{1}{t} + 1$ 、 $y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の方程式を求め、その概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x$ と $y$ の式から $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を導きます。

$x = t + \frac{1}{t} + 1$ より、 $t + \frac{1}{t} = x - 1$

$y = 2(t - \frac{1}{t})$ より、 $t - \frac{1}{t} = \frac{y}{2}$

$(t + \frac{1}{t})^2 = (x-1)^2$

$(t - \frac{1}{t})^2 = (\frac{y}{2})^2$

$(t + \frac{1}{t})^2 - (t - \frac{1}{t})^2 = (x-1)^2 - (\frac{y}{2})^2$

$4 = (x-1)^2 - \frac{y^2}{4}$

$(x-1)^2 - \frac{y^2}{4} = 4$

$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

(2) 求めた方程式の概形を描きます。

$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ は双曲線を表します。

中心は $(1, 0)$ 、漸近線は $y = \pm 2(x-1)$ です。

$x = t + \frac{1}{t} + 1$ より、 $x \ge 3$ または $x \le -1$ です。

$t > 0$ のとき、 $x \ge 3$ であり、$y$ は実数全体を動きます。

$t < 0$ のとき、 $x \le -1$ であり、$y$ は実数全体を動きます。

3. 最終的な答え

曲線の方程式は、 $\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ です。

概形は、中心 $(1, 0)$ 、漸近線 $y = \pm 2(x-1)$ の双曲線で、$x \ge 3$ と $x \le -1$ の範囲です。