$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s$, $t$ が $s+t = \frac{1}{3}$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s$, $t$ が $s+t = \frac{1}{3}$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$s+t=\frac{1}{3}$ より、$t=\frac{1}{3}-s$ である。これを $\overrightarrow{OP}$ の式に代入すると、

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\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (\frac{1}{3}-s)\overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{OA} - s\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

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となる。

ここで、$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ であるから、

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\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

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となる。これは、$s$ が変化すると、点 $P$ は点 $B$ を起点とするベクトル $\overrightarrow{BA}$ の方向に動くことを意味する。また、 $s \geq 0$ かつ $t \geq 0$ より $0 \leq s \leq \frac{1}{3}$ である。

そこで、$\frac{1}{3} \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$ となる点 $C$ をとる。すると、

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\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} + s\overrightarrow{BA}

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この式は、点 $P$ は点 $C$ からベクトル $\overrightarrow{BA}$ の $s$ 倍だけ移動した点であることを表す。

$s$ の範囲は $0 \leq s \leq \frac{1}{3}$ であるから、点 $C$ から $\overrightarrow{BA}$ の方向に$\frac{1}{3} \overrightarrow{BA}$ だけ進んだ点を $D$ とすると、点 $P$ は線分 $CD$ 上に存在する。

ここで、$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA}$ である。

したがって、$\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OE}$ となる点 $E$ をとると、$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OE}$ であるから、$D$ と $E$ は同じ点である。

また、$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OB}$ である。

以上より、点 $P$ の存在範囲は、線分 $OC$ と線分 $OE$ である。ここで、$E$ は線分 $OA$ を $1:2$ に内分する点であり、$C$ は線分 $OB$ を $1:2$ に内分する点である。従って、点 $P$ の存在範囲は線分 $EC$ である。

3. 最終的な答え

点Pの存在範囲は、線分OAを1:2に内分する点をE、線分OBを1:2に内分する点をCとするとき、線分ECである。