平面上に点O, A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である。線分ABを1:2に内分する点をPとする。ベクトル$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$の値、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表す式を求め、さらに直線OPに関して点Aと対称な点をQとする。線分AQと直線OPの交点をHとするとき、点Hが線分AQの中点であることから$\vec{OQ}$の関係式を導き、$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表し、点Hが直線OP上にあることから$\vec{OH} = k\vec{OP}$と表される。この条件から$\vec{AH}$を$k, \vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に点O, A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である。線分ABを1:2に内分する点をPとする。ベクトル$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$の値、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表す式を求め、さらに直線OPに関して点Aと対称な点をQとする。線分AQと直線OPの交点をHとするとき、点Hが線分AQの中点であることから$\vec{OQ}$の関係式を導き、$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表し、点Hが直線OP上にあることから$\vec{OH} = k\vec{OP}$と表される。この条件から$\vec{AH}$を$k, \vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を計算する。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA||OB|\cos{\angle AOB} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

次に、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表す。

点Pは線分ABを1:2に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

点Hは線分AQの中点であるから、$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OQ}}{2}$より、$2\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OQ}$となる。したがって、$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$

$\vec{OH}=k\vec{OP}$ であるから、$\vec{OH}= k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) = \frac{2k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = \frac{2k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} - \vec{OA} = (\frac{2k}{3}-1)\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} = (\frac{2}{3}k-1)\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

ア: 1/2

イ: 2

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 3

キ: 2

ク: 2

ケ: 3

コ: 1

サ: 1

シ: 3