正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正八面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正八面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正八面体の1辺の長さを $a$ とする。正八面体の各面の重心を結んでできる正八面体は、もとの正八面体と相似であり、相似比は $1:3$ である。

なぜなら、正三角形の重心は、中線を $2:1$ に内分する点だからである。

したがって、新しい正八面体の1辺の長さは $\frac{a}{3}$ である。

2つの正八面体の体積比は、相似比の3乗に等しい。

もとの正八面体の体積を $V$ 、内側の正八面体の体積を $V'$ とすると、

$V' = \frac{1}{27} V$

ここで、$V'=8$ であるから、

$V = 27 \times 8 = 216$

正八面体は、正四角錐2つを底面で貼り合わせた形をしている。

正四角錐の底面は正方形で、対角線の長さは正八面体の1辺の長さ $a$ に等しい。

したがって、底面積は $\frac{1}{2} a^2$ である。

正四角錐の高さは $\frac{a}{\sqrt{2}}$ である。

したがって、正四角錐の体積は

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a^2 \times \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

正八面体の体積は、この2倍であるから、

$V = 2 \times \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{6}$

$V=216$ であるから、

$\frac{\sqrt{2}a^3}{6} = 216$

$a^3 = \frac{216 \times 6}{\sqrt{2}} = \frac{1296}{\sqrt{2}} = 648\sqrt{2}$

$a = \sqrt[3]{648\sqrt{2}} = 6\sqrt[3]{3\sqrt{2}} = 6 \times 2^{\frac{1}{6}} \times 3^{\frac{1}{3}}$

しかし、より簡単な解法がある。内側の正八面体も元の正八面体と相似であるから、体積比は相似比の3乗に等しい。

内側の正八面体の1辺の長さを $x$ とすると、元の正八面体の1辺の長さは $3x$ となる。

正八面体の体積は $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ で与えられる。ただし、$a$ は正八面体の1辺の長さである。

内側の正八面体の体積は $V' = \frac{\sqrt{2}}{3} x^3 = 8$ である。

したがって、$x^3 = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$ となる。

元の正八面体の1辺の長さ $a$ は $3x$ であるから、$a = 3x$ である。

$a^3 = (3x)^3 = 27x^3 = 27 \times 12\sqrt{2} = 324\sqrt{2}$

$a = \sqrt[3]{324\sqrt{2}} = 3\sqrt[3]{12\sqrt{2}} = \sqrt[3]{324} \times \sqrt[6]{2}$

正八面体の各面の重心を結んでできる正八面体の体積は、もとの正八面体の体積の $\frac{1}{27}$ 倍である。

一方、正八面体の各面の重心を結んでできる立体は、正方形を底面とする四角錐が6個集まってできた立体であり、正八面体ではない。正八面体を構成する正三角形の重心を頂点とする正八面体が、もとの正八面体の中に構成される。この時の相似比は $1/3$ であり、体積比は $1/27$ である。したがって、内側の正八面体の体積が8のとき、元の正八面体の体積は $8 \times 27 = 216$ である。

正八面体の1辺を $a$ とすると、体積は $\frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ であるから、

$\frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = 216$

$a^3 = \frac{3 \times 216}{\sqrt{2}} = \frac{648}{\sqrt{2}} = 324 \sqrt{2}$

$a = \sqrt[3]{324\sqrt{2}} = \sqrt[6]{324^2 \times 2} = \sqrt[6]{209952} = 3 \sqrt[3]{12\sqrt{2}} = 6 \sqrt[6]{18}$

別の考え方として、$a = k \sqrt[6]{2}$ とすると、 $k = 3 \sqrt[3]{12}$

3. 最終的な答え

$a = 6$