3点 A(-2, 6), B(1, -3), C(5, -1) を頂点とする三角形 ABC の外接円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(-2, 6), B(1, -3), C(5, -1) を頂点とする三角形 ABC の外接円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

外接円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

円が点A, B, Cを通るので、それぞれの座標を代入して、以下の3つの式を得ます。

点A(-2, 6)を代入:

$(-2)^2 + 6^2 + l(-2) + m(6) + n = 0$

$4 + 36 - 2l + 6m + n = 0$

$-2l + 6m + n = -40$ (1)

点B(1, -3)を代入:

$1^2 + (-3)^2 + l(1) + m(-3) + n = 0$

$1 + 9 + l - 3m + n = 0$

$l - 3m + n = -10$ (2)

点C(5, -1)を代入:

$5^2 + (-1)^2 + l(5) + m(-1) + n = 0$

$25 + 1 + 5l - m + n = 0$

$5l - m + n = -26$ (3)

(2) - (1)より:

$(l - 3m + n) - (-2l + 6m + n) = -10 - (-40)$

$3l - 9m = 30$

$l - 3m = 10$ (4)

(3) - (2)より:

$(5l - m + n) - (l - 3m + n) = -26 - (-10)$

$4l + 2m = -16$

$2l + m = -8$ (5)

(4)より、$l = 3m + 10$

これを(5)に代入すると:

$2(3m + 10) + m = -8$

$6m + 20 + m = -8$

$7m = -28$

$m = -4$

$l = 3m + 10 = 3(-4) + 10 = -12 + 10 = -2$

(2)に$l$と$m$の値を代入:

$-2 - 3(-4) + n = -10$

$-2 + 12 + n = -10$

$10 + n = -10$

$n = -20$

したがって、外接円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

これを標準形に変形すると、

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ または $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$