正八面体の各面の重心を結んで内側に正六面体を作った。この正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に正六面体を作った。この正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正八面体の1辺の長さを$a$とする。

正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の1辺の長さを求める。

正八面体の頂点をA, B, C, D, E, Fとする。正六面体の頂点は、正八面体の各面の重心となる。

正六面体の1つの面は、正八面体の4つの面の重心を結んでできている。

正八面体の面ABCの重心をGとする。AGは、中線の中点なので、$AG = \frac{2}{3}AM$となる。ここでAMは中線である。

正三角形ABCにおいて、AMの長さは、

$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

したがって、

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

正八面体の面ABCと面ABDの重心を結ぶ線分の長さを考える。

正六面体の1辺の長さは、正八面体の1辺の長さの$\frac{1}{3}$になる。

したがって、正六面体の1辺の長さは$\frac{1}{3}a$である。

正六面体の体積は、 $(\frac{1}{3}a)^3 = \frac{1}{27}a^3$ となる。

問題文より、正六面体の体積は8なので、

$\frac{1}{27}a^3 = 8$

$a^3 = 8 \times 27 = 2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3$

$a = \sqrt[3]{6^3} = 6$

3. 最終的な答え

正八面体の1辺の長さは6