媒介変数 $t$ を用いて $x = t + \frac{1}{t}$, $y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の方程式を求め、その概形を描く。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = t + \frac{1}{t}$, $y = 2(t - \frac{1}{t})$ と表される曲線の方程式を求め、その概形を描く。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を導出する。

$x = t + \frac{1}{t}$ と $y = 2(t - \frac{1}{t})$ の二つの式から、$t - \frac{1}{t}$ を消去するために、$y$ の式を2で割ると、$\frac{y}{2} = t - \frac{1}{t}$ となる。

次に、$x^2$ と $(\frac{y}{2})^2$ を計算する。

$x^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$(\frac{y}{2})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$

$x^2$ から $(\frac{y}{2})^2$ を引くと、以下のようになる。

$x^2 - (\frac{y}{2})^2 = (t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) = 4$

したがって、$x^2 - \frac{y^2}{4} = 4$ となる。両辺を4で割ると、

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

これは双曲線の方程式である。

次に、双曲線の概形を描く。双曲線の中心は原点 $(0, 0)$ にあり、$x$軸方向に$a=2$、$y$軸方向に$b=4$だけ伸びた形になる。漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{4}{2} x = \pm 2x$ である。

$t$ の値によって $x$ と $y$ の範囲が制限されることに注意する。$x=t+\frac{1}{t}$ より、$|x| \geq 2$。

3. 最終的な答え

曲線の方程式は $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ （ただし $|x| \geq 2$）。概形は双曲線。