四角形ABCDの2つの対角線ACとBDの交点をOとする。AC = 7, BD = 10, ∠AOB = 45°であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDの2つの対角線ACとBDの交点をOとする。AC = 7, BD = 10, ∠AOB = 45°であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDの面積は、対角線の長さとその交わる角のsinを用いて計算できます。

四角形の面積Sは、対角線の長さをそれぞれ$p$と$q$、交わる角を$θ$とすると、

$S = \frac{1}{2} pq \sin{θ}$

で表されます。

この問題では、AC = 7, BD = 10, ∠AOB = 45°なので、

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 10 \times \sin{45°}$

$\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{70\sqrt{2}}{4} = \frac{35\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{35\sqrt{2}}{2}$