問題は3つあります。 (1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha-\beta)$ と $\cos(\alpha-\beta)$ の値を求める。 (2) 2直線 $y = x$ と $y = -(2 + \sqrt{3})x$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) を求める。 (3) (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。 (2) $-\sin \theta + \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha-\beta)$ と $\cos(\alpha-\beta)$ の値を求める。

(2) 2直線 $y = x$ と $y = -(2 + \sqrt{3})x$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) を求める。

(3)

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ より、$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\sin \beta = \frac{5}{13}$ より、$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{36}{65} + \frac{20}{65} = -\frac{16}{65}$

(2)

$y = x$ の傾きは $1$ なので、$\tan \alpha = 1$ とすると、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

$y = -(2 + \sqrt{3})x$ の傾きは $-(2 + \sqrt{3})$ なので、$\tan \beta = -(2 + \sqrt{3})$ とすると、$\beta = \frac{5\pi}{12}$

なす角 $\theta$ は $|\alpha - \beta| = |\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{12}| = | \frac{3\pi - 5\pi}{12}| = |-\frac{2\pi}{12}| = \frac{\pi}{6}$.

(3)

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 (\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $-\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha - \beta) = -\frac{63}{65}$, $\cos(\alpha - \beta) = -\frac{16}{65}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}$

(3)

(1) $2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$