四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$とする。三角形ABCの重心をG'とし、$\overrightarrow{OG'}=\vec{g'}$とする。$\vec{g'}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$である。線分OG'を3:1に内分する点をGとし、$\overrightarrow{OG}=\vec{g}$とするとき、$\vec{g}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$とする。三角形ABCの重心をG'とし、$\overrightarrow{OG'}=\vec{g'}$とする。$\vec{g'}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$である。線分OG'を3:1に内分する点をGとし、$\overrightarrow{OG}=\vec{g}$とするとき、$\vec{g}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

線分OG'を3:1に内分する点Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、内分点の公式を用いて以下のように表せる。

$\vec{g}=\frac{1 \cdot \vec{0} + 3 \cdot \vec{g'}}{3+1}$

ここで、$\vec{0}$は原点Oの位置ベクトルである。

$\vec{g}=\frac{3 \cdot \vec{g'}}{4}$

問題文より、$\vec{g'}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$なので、これを代入する。

$\vec{g}=\frac{3}{4} \cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$

3. 最終的な答え

$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$

選択肢ウが正解です。