(1) 点(0, 10)から円 $x^2 + y^2 = 25$ に引いた接線の方程式を求める問題です。 (2) (1) 2点(-1, 0), (1, 2) から等距離にある点Pの軌跡の方程式を求める問題です。式の一部が $x+y-\boxed{}=0$ となっているので、空欄を埋めます。 (2) 放物線 $y = x^2 + tx - t^2 + 2t$ の頂点Pの軌跡の方程式を求める問題です。式の一部が $y = -\boxed{}x^2 -\boxed{}x$ となっているので、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

(1) 点(0, 10)から円 $x^2 + y^2 = 25$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

(2)

(1) 2点(-1, 0), (1, 2) から等距離にある点Pの軌跡の方程式を求める問題です。式の一部が $x+y-\boxed{}=0$ となっているので、空欄を埋めます。

(2) 放物線 $y = x^2 + tx - t^2 + 2t$ の頂点Pの軌跡の方程式を求める問題です。式の一部が $y = -\boxed{}x^2 -\boxed{}x$ となっているので、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2+y^2=25$ 上の接点を$(x_1, y_1)$とすると、接線の方程式は $x_1x+y_1y=25$ と表されます。

この直線が点(0,10)を通るので、$x_1\cdot0+y_1\cdot10=25$。よって、$y_1=\frac{5}{2}$。

点$(x_1, y_1)$は円上にあるので、$x_1^2+y_1^2=25$。$x_1^2+(\frac{5}{2})^2=25$より、$x_1^2=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$。

したがって、$x_1=\pm\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

接線の方程式は$\pm\frac{5\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}y=25$。

$y=\mp\sqrt{3}x+10$。

よって、$y=\pm\sqrt{3}x+10$とすれば、$y=\pm\sqrt{3}x+10$です。$y=\pm\sqrt{3}x+10$ の形に合わせるために、$y=\pm\sqrt{(\sqrt{3})^2}x+10 = \pm\sqrt{3}x+10$　とします。

したがって、$y = \pm\sqrt{3}x+10$

(2)

(1) 点Pの座標を(x, y)とすると、Pと(-1, 0)の距離は$\sqrt{(x+1)^2 + (y-0)^2}$。

Pと(1, 2)の距離は$\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$。

2点からの距離が等しいので、$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$。

両辺を2乗すると、$(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2$。

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$。

$2x = -2x - 4y + 4$。

$4x + 4y = 4$。

$x + y = 1$。

したがって、$x + y - 1 = 0$。

(2)

$y = x^2 + tx - t^2 + 2t$を平方完成すると、

$y = (x + \frac{t}{2})^2 - (\frac{t}{2})^2 - t^2 + 2t$

$y = (x + \frac{t}{2})^2 - \frac{t^2}{4} - t^2 + 2t$

$y = (x + \frac{t}{2})^2 - \frac{5}{4}t^2 + 2t$

頂点Pの座標は$(-\frac{t}{2}, -\frac{5}{4}t^2 + 2t)$。

$x = -\frac{t}{2}$より、$t = -2x$。

$y = -\frac{5}{4}(-2x)^2 + 2(-2x)$

$y = -\frac{5}{4}(4x^2) - 4x$

$y = -5x^2 - 4x$

3. 最終的な答え

(1) $y = \pm\sqrt{3}x+10$

(2)

(1) $x + y - 1 = 0$

(2) $y = -5x^2 - 4x$