三角形ABCにおいて、$AB=4, AC=5$とする。角BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。 (1) 線分ADを3:2に内分する点をE、直線BEと辺ACとの交点をFとする。BD:DC, AF, BE/BF, △AEFの面積と△ABCの面積の比、点Eが△ABCの内心のときのBCの長さを求める。 (2) $BD=2$とする。直線ADと△ABCの外接円の交点で、点Aとは異なる点をGとする。AD・DG, △ABGと相似な三角形、AGの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4, AC=5$とする。角BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。

(1) 線分ADを3:2に内分する点をE、直線BEと辺ACとの交点をFとする。BD:DC, AF, BE/BF, △AEFの面積と△ABCの面積の比、点Eが△ABCの内心のときのBCの長さを求める。

(2) $BD=2$とする。直線ADと△ABCの外接円の交点で、点Aとは異なる点をGとする。AD・DG, △ABGと相似な三角形、AGの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

BD:DCについて、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:5$となる。

ア:4, イ:5

AFについて、メネラウスの定理より、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BE}{EF} \cdot \frac{FA}{AC} = 1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{BE}{EF} \cdot \frac{FA}{5} = 1$

$FA = \frac{4}{BE/EF} = \frac{4EF}{BE}$

また、ADを3:2に内分するので、

$AE:ED = 3:2$

△ACDについて、メネラウスの定理より

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{CF}{FA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$2CF = 3FA$

$AC = AF + FC = AF + \frac{3}{2}AF = \frac{5}{2}AF = 5$

$AF = 2$

よって、$AF = \frac{2}{5}AC$

ウ:2, エ:5

BE/BFについて、チェバの定理より、

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DE}{EA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$

よって、BE/BFはチェバの定理からは求まらない。

△ABDにおいて、EはADを3:2に内分するので、△ABDと△ABEの高さは同じであり、面積比は底辺の比となる。

$\frac{\triangle ABE}{\triangle ABD} = \frac{AE}{AD} = \frac{3}{5}$

△ABCにおいて、ADは角の二等分線であるので、

$\frac{\triangle ABD}{\triangle ABC} = \frac{BD}{BC} = \frac{4}{9}$

したがって、$\triangle ABE = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} \triangle ABC = \frac{4}{15} \triangle ABC$

$\frac{\triangle AEF}{\triangle ABE} = \frac{AF}{AC} = \frac{2}{5}$

$\triangle AEF = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{15} \triangle ABC = \frac{8}{75} \triangle ABC$

△AEFの面積と△ABCの面積の比は8/75

$\frac{BE}{BF} = \frac{5}{3} \frac{2}{2} = 5/2$

△ABCの面積は$\frac{8}{75}$倍

オ:5, カ:2, キ:8, クケ:75

点Eが△ABCの内心のとき、BCの長さについて、

$AE$は角の二等分線なので$AE$は内角の二等分線。

$E$が内心なので、$AD$は角の二等分線である。

よって、$BD:DC = AB:AC = 4:5$

$BC = BD+DC$

$BD:DC = 4:5$

$BC = BD + DC$

内接円の中心なので、$BD:DC = AB:AC$

Eが内心であるとき、$AE$は角の二等分線なので、$AE$は内角の二等分線。

$AB+BC+CA = 2(AB+CA) = 2*9 = 18$

$4+5+BC = x$

$BC=6$

$4+5+6=15$

BD:DC=4:5

$BD+DC=6$

$5BD=4DC = 4(6-BD)$

$5BD=24-4BD$

$9BD=24$

$BD=8/3$

$DC = 10/3$

コ: 6

(2)

BD=2とする。

角の二等分線の性質より、AB:AC = BD:DC

4:5=2:DC

DC=5/2

BC=2+5/2=9/2

AD・DGについて、$AD \cdot DG = BD \cdot DC$

$AD \cdot DG = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5$

サ:5

△ABGと相似な三角形について、

△ABGは△ADCと相似である。

△ABG∽△ADC

シ:1

$\frac{AG}{AC} = \frac{AB}{AD}$

$AD = \sqrt{4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot cosB}$

$\triangle ABDにおいて余弦定理よりcosB= (4^2+(9/2)^2-5^2/4) / (2*4*(9/2)) = (16+81/4 - 25/4)/(36)=(64+56)/(144)=120/144=5/6$

$AD = \sqrt{16 + 4 - 16 * 5/6} = \sqrt{20 - 40/3} = \sqrt{20/3} = 2\sqrt{5/3} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$

$AG/5 = 4 / (\frac{2\sqrt{15}}{3})$

$AG = 20 * \frac{3}{2\sqrt{15}} = \frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$

$\frac{2\sqrt{15}}{1}$

ス:2, セソ:15, タ:1

3. 最終的な答え

(1)

BD:DC = 4:5

AF = (2/5)AC, BE = (5/2)BF

△AEFの面積は△ABCの面積の8/75倍

BC = 6

(2)

AD・DG = 5

△ABGは△ADCと相似である。

AG = (2√15)/1