四角形ABCDが円に内接していて、AB=1, BC=$\sqrt{2}$, CD=1, DA=$2\sqrt{2}$であるとき、 (1) BDの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接していて、AB=1, BC=$\sqrt{2}$, CD=1, DA=$2\sqrt{2}$であるとき、

(1) BDの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度である。

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - \angle B$

$\cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B$

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB\cdot AD\cos A = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2\cdot 1 \cdot 2\sqrt{2}\cos A = 1+8-4\sqrt{2}\cos A = 9-4\sqrt{2}\cos A$

$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC\cdot CD\cos C = (\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1\cos C = 2+1-2\sqrt{2}\cos C = 3-2\sqrt{2}\cos C$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$より$\cos B = - \cos D$なので、

$9-4\sqrt{2}\cos B = 3-2\sqrt{2}\cos D = 3+2\sqrt{2}\cos B$

$6=6\sqrt{2}\cos B$

$\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle B=45^\circ$

$BD^2 = 3-2\sqrt{2}\cos D = 3-2\sqrt{2}\cos(180^\circ-45^\circ)=3-2\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3+2 = 5$

$BD = \sqrt{5}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABD$と$\triangle BCD$の面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2}AB\cdot AD\sin B = \frac{1}{2}(1)(2\sqrt{2})\sin D$

$\triangle BCD = \frac{1}{2}BC\cdot CD\sin D = \frac{1}{2}\sqrt{2}(1)\sin B$

$\angle B = 45^\circ$, $\angle D=135^\circ$

$\triangle ABD = \frac{1}{2} (1)(2\sqrt{2}) \sin 135^\circ = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} (\sqrt{2})(1) \sin 45^\circ = \frac{1}{2} (\sqrt{2})(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

四角形ABCDの面積 = $\triangle ABD + \triangle BCD = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) BDの長さ: $\sqrt{5}$

(2) 四角形ABCDの面積: $\frac{3}{2}$