四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。 (1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトルを求める。 (2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求める。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトルを求める。

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ は、各頂点の位置ベクトルの平均で表される。

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は、内分点の公式を用いて求める。点Aの位置ベクトルは$\vec{a}$であり、点Gの位置ベクトルは$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$である。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{g}}{3 + 1}$

$\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{4}$

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトル: $\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトル: $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$