与えられた数に、できるだけ小さい自然数をかけたり割ったりして、ある自然数の平方にしたい。それぞれの場合に、どんな数をかければ良いか、あるいは割れば良いかを答える。

1. 問題の内容

与えられた数に、できるだけ小さい自然数をかけたり割ったりして、ある自然数の平方にしたい。それぞれの場合に、どんな数をかければ良いか、あるいは割れば良いかを答える。

2. 解き方の手順

(1) 90 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の平方にしたい。

90 を素因数分解すると $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ となる。

平方数にするには、全ての素因数の指数が偶数である必要がある。

現在、2 の指数は 1、3 の指数は 2、5 の指数は 1 である。

したがって、2 と 5 の指数を偶数にするためには、少なくとも $2 \times 5 = 10$ をかける必要がある。

(2) 240 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の平方にしたい。

240 を素因数分解すると $240 = 2^4 \times 3 \times 5$ となる。

平方数にするには、全ての素因数の指数が偶数である必要がある。

現在、2 の指数は 4、3 の指数は 1、5 の指数は 1 である。

したがって、3 と 5 の指数を偶数にするためには、少なくとも $3 \times 5 = 15$ をかける必要がある。

(3) 168 をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の平方にしたい。

168 を素因数分解すると $168 = 2^3 \times 3 \times 7$ となる。

平方数にするには、全ての素因数の指数が偶数である必要がある。

現在、2 の指数は 3、3 の指数は 1、7 の指数は 1 である。

したがって、2, 3, 7 を割って、指数を偶数にするためには、少なくとも $2 \times 3 \times 7 = 42$ で割る必要がある。

(4) 792 をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の平方にしたい。

792 を素因数分解すると $792 = 2^3 \times 3^2 \times 11$ となる。

平方数にするには、全ての素因数の指数が偶数である必要がある。

現在、2 の指数は 3、3 の指数は 2、11 の指数は 1 である。

したがって、2 と 11 を割って、指数を偶数にするためには、少なくとも $2 \times 11 = 22$ で割る必要がある。

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 15

(3) 42

(4) 22