$a > 0$ のとき、2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 6x) + 1$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1$

$y = -(x - 3)^2 + 9 + 1$

$y = -(x - 3)^2 + 10$

この2次関数のグラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は $(3, 10)$ である。

定義域は $0 \le x \le a$ である。

場合分けをする。

(i) $0 < a < 3$ のとき、最大値は $x = 0$ でとる。

このとき、$y = -0^2 + 6(0) + 1 = 1$。

(ii) $a = 3$ のとき、最大値は $x = 3$ でとる。

このとき、$y = -(3-3)^2 + 10 = 10$。

(iii) $a > 3$ のとき、最大値は $x = 3$ でとる。

このとき、$y = -(3-3)^2 + 10 = 10$。

さらに $0 < a < 3$ の場合を考える。$x=0$の時$y=1$が最大値になる。

3よりもaが大きい場合、頂点の座標である$x=3$の時に$y=10$が最大値になる。

まとめると、

(1) $0 < a < 3$ のとき、最大値は $1$ で、$x = 0$

(2) $a \ge 3$ のとき、最大値は $10$ で、$x = 3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$ のとき、最大値は $1$ で、$x = 0$

$a \ge 3$ のとき、最大値は $10$ で、$x = 3$