2つの正の整数 $m$, $n$ があり、$m > n$ である。この2つの整数の最大公約数は5であり、$mn = 300$ である。$m$ と $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの正の整数 $m$, $n$ があり、$m > n$ である。この2つの整数の最大公約数は5であり、$mn = 300$ である。$m$ と $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$m$ と $n$ の最大公約数が5であることから、$m$ と $n$ はそれぞれ 5の倍数として表すことができる。

したがって、$m = 5a$, $n = 5b$ ($a > b$) と表せる。（$a$ と $b$ は互いに素な正の整数）

$mn = 300$ なので、

$(5a)(5b) = 300$

$25ab = 300$

$ab = 300/25 = 12$

$a$ と $b$ は互いに素なので、$ab = 12$ を満たす $a$ と $b$ の組み合わせは以下の通り。

- $a = 12$, $b = 1$

- $a = 4$, $b = 3$

それぞれの場合について、$m$ と $n$ を求める。

- $a = 12$, $b = 1$ のとき、$m = 5a = 5 \times 12 = 60$, $n = 5b = 5 \times 1 = 5$

- $a = 4$, $b = 3$ のとき、$m = 5a = 5 \times 4 = 20$, $n = 5b = 5 \times 3 = 15$

3. 最終的な答え

$m = 60$, $n = 5$ または $m = 20$, $n = 15$