数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -3$, $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求め、さらに $n$ が奇数または偶数の場合に、$a_n$ と $0$ との大小関係を調べる問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -3$, $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求め、さらに $n$ が奇数または偶数の場合に、$a_n$ と $0$ との大小関係を調べる問題です。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

与えられた漸化式 $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ は公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列であることがわかります。

初項 $a_1 = -3$ であるから、一般項は

$a_n = a_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

したがって、$a_n = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

(2) $n$ が奇数の場合と偶数の場合について $a_n$ の符号を調べる。

* $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数であるから、$\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} > 0$ となります。

したがって、$a_n = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0$ となります。

* $n$ が偶数のとき、$n-1$ は奇数であるから、$\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0$ となります。

したがって、$a_n = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$n$ が奇数のとき、$a_n < 0$

$n$ が偶数のとき、$a_n > 0$

アイ: -3

ウエ/オ: -1/2

カ: 0

キ: 2