問題文は、実数 $a, b$ に対する条件 $p, q, r, s$ が与えられており、 $p: a > 5$ $q: |a| > 5$ $r: |b| > 5$ $s: |a| + |b| > 10$ である。 (1) $q$ が $p$ であるための何であるかを答える。 (2) 命題 $s \Rightarrow (q \text{ または } r)$ の対偶を答える。 (3) $s$ が $(q \text{ または } r)$ であるための何であるかを答える。

1. 問題の内容

問題文は、実数 $a, b$ に対する条件 $p, q, r, s$ が与えられており、

$p: a > 5$

$q: |a| > 5$

$r: |b| > 5$

$s: |a| + |b| > 10$

である。

(1) $q$ が $p$ であるための何であるかを答える。

(2) 命題 $s \Rightarrow (q \text{ または } r)$ の対偶を答える。

(3) $s$ が $(q \text{ または } r)$ であるための何であるかを答える。

2. 解き方の手順

(1)

$p: a > 5$

$q: |a| > 5$

$a > 5$ ならば $|a| > 5$ は常に成り立つので、$p \Rightarrow q$ は真である。

一方、 $|a| > 5$ であっても、$a < -5$ の場合があるので、$q \Rightarrow p$ は偽である。

したがって、$q$ は $p$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

ア = 1

(2)

命題 $s \Rightarrow (q \text{ または } r)$ の対偶は、$(\neg (q \text{ または } r)) \Rightarrow \neg s$ である。

$\neg (q \text{ または } r)$ は $(\neg q) \text{ かつ } (\neg r)$ と同値である。

$\neg q: |a| \le 5$

$\neg r: |b| \le 5$

$\neg s: |a| + |b| \le 10$

したがって、対偶は $(|a| \le 5 \text{ かつ } |b| \le 5) \Rightarrow (|a| + |b| \le 10)$ である。

イ = 6

ウ = 3

(3)

$q \text{ または } r : |a| > 5 \text{ または } |b| > 5$

$s: |a| + |b| > 10$

$|a| + |b| > 10$ ならば $|a| > 5$ または $|b| > 5$ は常に成り立つので、$s \Rightarrow (q \text{ または } r)$ は真である。

一方、$|a| > 5 \text{ または } |b| > 5$ であっても、$|a| = 6$ かつ $|b| = 1$ の場合、$|a| + |b| = 7 < 10$ となるので、$(q \text{ または } r) \Rightarrow s$ は偽である。

したがって、$s$ は $(q \text{ または } r)$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

エ = 2

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 6

ウ = 3

エ = 2