与えられた2次関数 $y = -x^2 - 4x - 2$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と解答します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 - 4x - 2$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と解答します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x - 2$

$y = -(x^2 + 4x) - 2$

$y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 2$

$y = -((x + 2)^2 - 4) - 2$

$y = -(x + 2)^2 + 4 - 2$

$y = -(x + 2)^2 + 2$

平方完成した式は、$y = -(x + 2)^2 + 2$ となります。

この式から、この2次関数のグラフは、上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-2, 2)$ であることがわかります。

したがって、最大値は頂点の $y$ 座標であり、$x = -2$ のときに最大値 $2$ をとります。

上に凸の放物線なので、最小値は存在しません。なぜなら、$x$ が正または負の方向に無限に大きくなるにつれて、$y$ の値は負の方向に無限に小さくなるからです。

3. 最終的な答え

最大値: 2 ($x = -2$ のとき)

最小値: なし ($x =$ なし のとき)