問題7では、$\sqrt{256}$と$\sqrt{784}$の値を求める問題です。問題8では、$\sqrt{108a}$が自然数となるような最小の自然数$a$を求め、その時の$\sqrt{108a}$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題7では、$\sqrt{256}$と$\sqrt{784}$の値を求める問題です。問題8では、$\sqrt{108a}$が自然数となるような最小の自然数$a$を求め、その時の$\sqrt{108a}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題7

(1) $\sqrt{256}$について：

$256$は$16$の2乗なので、$\sqrt{256} = 16$です。

(2) $\sqrt{784}$について：

$784$を素因数分解すると、$784 = 2^4 \times 7^2 = (2^2 \times 7)^2 = 28^2$なので、$\sqrt{784} = 28$です。

問題8

$\sqrt{108a}$が自然数になるような最小の自然数$a$を求める。

まず、$108$を素因数分解します。$108 = 2^2 \times 3^3$

$\sqrt{108a} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times a}$

$\sqrt{108a}$が自然数になるためには、$a$は$3$の倍数である必要があります。なぜなら、ルートの中身が全て偶数乗になる必要があるからです。

したがって、$a=3$のとき、

$\sqrt{108 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3^4} = \sqrt{2^2 \times (3^2)^2} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$

よって、$a=3$のとき$\sqrt{108a} = 18$

3. 最終的な答え

問題7

(1) 16

(2) 28

問題8

最小の自然数 a は 3

そのときの $\sqrt{108a}$ の値は 18