1周1000mのランニングコースをAさんとBさんが走る。Aさんは分速100mで、Bさんは分速250mで走る。ある地点PでBさんがAさんに追いついたとき、2人の走った距離の合計は4000m、時間の合計は25分であった。 (1) Aさんの走った道のりをx mとして、道のりの合計と時間の合計に関する方程式を立てる。また、Aさんの走った時間をx分として、道のりの合計に関する方程式を立てる。 (2) AさんとBさんの走ったそれぞれの道のりを求める。 (3) BさんがAさんより何分遅れて出発したかを求める。 (4) BさんがP地点で2回目にAさんに追いつくのは、Aさんがスタート地点を出発してから何分後かを求める。

1. 問題の内容

1周1000mのランニングコースをAさんとBさんが走る。Aさんは分速100mで、Bさんは分速250mで走る。ある地点PでBさんがAさんに追いついたとき、2人の走った距離の合計は4000m、時間の合計は25分であった。

(1) Aさんの走った道のりをx mとして、道のりの合計と時間の合計に関する方程式を立てる。また、Aさんの走った時間をx分として、道のりの合計に関する方程式を立てる。

(2) AさんとBさんの走ったそれぞれの道のりを求める。

(3) BさんがAさんより何分遅れて出発したかを求める。

(4) BさんがP地点で2回目にAさんに追いつくのは、Aさんがスタート地点を出発してから何分後かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんの考え：Aさんの走った道のりを $x$ mとする。Bさんの走った道のりは $4000-x$ mとなる。Aさんの走った時間は $\frac{x}{100}$ 分、Bさんの走った時間は $\frac{4000-x}{250}$ 分である。時間の合計は25分なので、

$\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250} = 25$

よって、アには $\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250}$ が入る。

花子さんの考え：Aさんの走った時間を $x$ 分とする。Aさんの走った道のりは $100x$ m、Bさんの走った時間は $25-x$ 分なので、Bさんの走った道のりは $250(25-x)$ mとなる。道のりの合計は4000mなので、

$100x + 250(25-x) = 4000$

よって、イには $100x + 250(25-x)$ が入る。

(2) 太郎さんの考え方を使った方程式を解く。

$\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250} = 25$

両辺に500を掛けて

$5x + 2(4000-x) = 12500$

$5x + 8000 - 2x = 12500$

$3x = 4500$

$x = 1500$

よって、Aさんの走った道のりは1500m、Bさんの走った道のりは$4000-1500=2500$mである。

(3) Aさんの走った時間は $\frac{1500}{100}=15$分。Bさんの走った時間は $\frac{2500}{250}=10$分。BさんはAさんより $15-10=5$分遅れて出発した。

(4) BさんがAさんに初めて追いついたのは、Aさんがスタートしてから15分後。2回目に追いつくとき、BさんはAさんより1周多く走っている。つまり、BさんはAさんより1000m多く走っている。

2回目に追いつくまでの時間を $t$ 分とすると、Aさんの走った距離は $100t$ m、Bさんの走った距離は $250(t-5)$ mである。

$250(t-5) - 100t = 1000$

$250t - 1250 - 100t = 1000$

$150t = 2250$

$t = 15$

2回目に追いつくのは、初めて追いついたときから $15$分後なので、$15+15=30$分後。

Aさんがスタートしてから $1500+1000=2500$m走った時に、2回目に追いつく。これは $2500/100=25$分。Bさんがスタートしてから $2500/250=10$分後なので、$25-5 = 20$分後。

$250(t-5)=100t+1000$

$150t=2250$

$t=15$

だからAさんが出発して15分+7.5分=22.5分+5分=15分。Aさんが出発して15分+5分=30+5分

BさんがAさんに2回目に追いつくまでにかかる時間は

Aさんが$x$分走ったとすると$250(x-5) = 100x + 1000$

$250x - 1250 = 100x + 1000$

$150x = 2250$

$x = 15$

だから15分でさらに1000メートルの差をつける

1. ア: $\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250}$

イ: $100x + 250(25-x)$

2. Aさんの走った道のり: 1500m, Bさんの走った道のり: 2500m

3. 5分

4. 15分

3. 最終的な答え

問1 (1) ア: $\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250}$, イ: $100x + 250(25-x)$

(2) Aさんの走った道のり: 1500m, Bさんの走った道のり: 2500m

(3) 5分

問2 15分

15分

15分

15分

15