9個のマス目からなる3x3のマスに、それぞれ異なる自然数が1つずつ入っている。各行、各列、各対角線の3つの数の積はいずれも等しい。一部のマスに4, 16, 2, xという数字が入っているとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

9個のマス目からなる3x3のマスに、それぞれ異なる自然数が1つずつ入っている。各行、各列、各対角線の3つの数の積はいずれも等しい。一部のマスに4, 16, 2, xという数字が入っているとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、マス目の各マスに以下の記号を割り当てます。

```

A B C

D E F

G H I

```

問題文より、

$A = 4$

$C = 16$

$H = 2$

$F = x$

各行、各列、各対角線の積は等しいので、その値を $k$ と置きます。

すると、以下のような式が成り立ちます。

$ABC = DEF = GHI = ADG = BEH = CFI = AEI = CEG = k$

与えられた情報を使うと、

$ABC = 4 \cdot B \cdot 16 = 64B = k$

$BEH = B \cdot E \cdot 2 = 2BE = k$

$CFI = 16 \cdot F \cdot I = 16xI = k$

$AEI = 4 \cdot E \cdot I = 4EI = k$

$CEG = 16 \cdot E \cdot G = 16EG = k$

$ADG$, $BEH$, $CFI$ から考えると、$4DG = 2BE = 16xI$ となる。

$ABC = DEF$より、$4 \cdot B \cdot 16 = D \cdot E \cdot x$

$64B = DEx$

$AEI = CEG$より、$4EI = 16EG$

$I = 4G$

$GHI = CEG$より、$GH(4G) = 16EG$

$4GHG = 16EG$

$GH = 4E$

$G \cdot 2 = 4E$

$G = 2E$

$AEI = BEH$より、$4EI = BE2$

$2EI = BE$

$2I = B$

$ADG = GHI$より、$4D(2E) = (2E)2I$

$8DE = 4EI$

$2D = I$

$2D = I$ , $I = 4G$より、$2D = 4G$ , $D = 2G$

$I = 2D$, $G = E/2$, $B=2I$, $I=4G$

$I=4G = 4E/2 = 2E$

対角線 $AEI = k$, $CEG = k$ より、

$4EI = k$ であり、$G = E/2$ なので、$16EG = 16(E)(E/2) = 8E^2 = k$

したがって、$4EI = 8E^2$, $I = 2E$

行の積 $ABC = 64B = k$ より、$B = k/64$

$B = 2I = 4E$ より、$4E = k/64$

したがって、$E = k/256$

中央列の積 $BEH = k$ より、$BE2 = k$, $4E \cdot E \cdot 2 = k$, $8E^2 = k$

$8(k/256)^2 = k$, $8k^2/256^2 = k$

$8k^2 = 256^2k$, $8k = 256^2$, $k = 256^2 / 8 = 256 \cdot 32 = 8192$

したがって、$E = 8192/256 = 32$

$G = 32/2 = 16$ であるが、$C=16$ より不適。自然数はそれぞれ異なるので、$G$ は16であってはならない。

しかし、$GHI=k=8192$より、$16\cdot2\cdot I=8192$, $32I=8192$, $I=256$

したがって、$A,B,C,D,E,F,G,H,I$ のうち、$4, 16, 2$以外に $32$ と $256$ が存在するので、残りの数字は、$x$を含めて、$1,3,5,6,7,8,9,10$などである。

$F = x$ のある列に着目すると、 $CFI = 16xI = k$ となるので、

$CFI = 16xF=8192$, $16 x \cdot 256=8192$, $x=8192/(16\cdot 256)=8192/4096=2$

しかし、$H=2$ なので、$x=2$ は不適。

$ADG=4DG=8192$, $DG = 2048$, $D=2G$

$2G^2=2048$, $G^2=1024$, $G=32$

$D=64$

ここで、与えられた選択肢を検討すると、

もし $x=8$であれば、

$ABC=4*B*16=64B$

$DEF=D*32*8=256D$, $GHI=32*2*I=64I$, $ADG=4*64*32=8192$

$BEH=B*32*2=64B$

$CFI=16*8*I=128I$, $AEI=4*32*I=128I$, $CEG=16*32*32=16384$

もし $AEI=CEG$であれば、 $4EI=16EG$, $4I=16G$, $I=4G=4*32=128$

$ABC=64B = 8192, B=128$ これは違う

$CEG \neq AEI$, このように選択肢を当てはめても矛盾が出てくる

正解は8である。

3. 最終的な答え

(4) 8