与えられた循環小数を分数で表す問題です。具体的には、以下の3つの循環小数を分数で表現します。 (1) $0.\dot{8}$ (2) $0.\dot{6}\dot{9}$ (3) $2.\dot{5}6\dot{7}$

1. 問題の内容

与えられた循環小数を分数で表す問題です。具体的には、以下の3つの循環小数を分数で表現します。

(1) $0.\dot{8}$

(2) $0.\dot{6}\dot{9}$

(3) $2.\dot{5}6\dot{7}$

2. 解き方の手順

(1) $0.\dot{8}$の場合:

$x = 0.\dot{8}$とおくと、

$10x = 8.\dot{8}$

$10x - x = 8.\dot{8} - 0.\dot{8}$

$9x = 8$

$x = \frac{8}{9}$

(2) $0.\dot{6}\dot{9}$の場合:

$x = 0.\dot{6}\dot{9}$とおくと、

$100x = 69.\dot{6}\dot{9}$

$100x - x = 69.\dot{6}\dot{9} - 0.\dot{6}\dot{9}$

$99x = 69$

$x = \frac{69}{99} = \frac{23}{33}$

(3) $2.\dot{5}6\dot{7}$の場合:

$x = 2.\dot{5}6\dot{7}$とおくと、

$x = 2 + 0.\dot{5}6\dot{7}$

$y = 0.\dot{5}6\dot{7}$とおくと、

$1000y = 567.\dot{5}6\dot{7}$

$1000y - y = 567.\dot{5}6\dot{7} - 0.\dot{5}6\dot{7}$

$999y = 567$

$y = \frac{567}{999} = \frac{63}{111} = \frac{21}{37}$

したがって、$x = 2 + \frac{21}{37} = \frac{2 \times 37 + 21}{37} = \frac{74+21}{37} = \frac{95}{37}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{9}$

(2) $\frac{23}{33}$

(3) $\frac{95}{37}$