画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。 * 問題1：次の数の中から、素数をすべて書きなさい。1, 31, 49, 53, 69, 76, 97 * 問題2：次の数を素因数分解しなさい。(1) 84, (2) 90, (3) 110, (4) 234 * 問題3：素因数分解を利用して、次の数の約数をすべて求めなさい。(1) 80, (2) 154 * 問題4：60にできるだけ小さい自然数をかけて、その積がある自然数の2乗になるようにしたい。どのような数をかければよいですか。 * C力をのばそう：105/□が素数となるようにする。□にあてはまる自然数をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。

* 問題1：次の数の中から、素数をすべて書きなさい。1, 31, 49, 53, 69, 76, 97

* 問題2：次の数を素因数分解しなさい。(1) 84, (2) 90, (3) 110, (4) 234

* 問題3：素因数分解を利用して、次の数の約数をすべて求めなさい。(1) 80, (2) 154

* 問題4：60にできるだけ小さい自然数をかけて、その積がある自然数の2乗になるようにしたい。どのような数をかければよいですか。

* C力をのばそう：105/□が素数となるようにする。□にあてはまる自然数をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

* **問題1**

* 素数とは、1と自分自身以外に約数を持たない数です。

* 与えられた数について、素数かどうかを調べます。

* 1は素数ではありません。

* 31は素数です。

* 49 = 7 x 7 なので素数ではありません。

* 53は素数です。

* 69 = 3 x 23 なので素数ではありません。

* 76 = 2 x 38 なので素数ではありません。

* 97は素数です。

* **問題2**

* 素因数分解とは、ある数を素数の積で表すことです。

* (1) 84 = 2 x 42 = 2 x 2 x 21 = 2 x 2 x 3 x 7 = $2^2 * 3 * 7$

* (2) 90 = 2 x 45 = 2 x 3 x 15 = 2 x 3 x 3 x 5 = $2 * 3^2 * 5$

* (3) 110 = 2 x 55 = 2 x 5 x 11 = $2 * 5 * 11$

* (4) 234 = 2 x 117 = 2 x 3 x 39 = 2 x 3 x 3 x 13 = $2 * 3^2 * 13$

* **問題3**

* 約数とは、ある数を割り切ることができる数です。

* (1) 80 = $2^4 * 5$ の約数は、1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

* (2) 154 = 2 x 7 x 11 の約数は、1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154

* **問題4**

* 60 = $2^2 * 3 * 5$

* ある自然数の2乗にするには、すべての素因数の指数が偶数である必要があります。

* 60に3と5をかけると、$2^2 * 3^2 * 5^2 = (2 * 3 * 5)^2 = 30^2 = 900$ となり、ある自然数の2乗になります。

* したがって、かける数は3 x 5 = 15です。

* **C力をのばそう**

* 105/□ が素数となるようにする。

* 105 = 3 x 5 x 7

* 105/□が素数となるためには、□は105の約数でなければならない。

* 105の約数は、1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

* もし105/□ = 3 とすると、□ = 35

* もし105/□ = 5 とすると、□ = 21

* もし105/□ = 7 とすると、□ = 15

* したがって、□に入る自然数は、15, 21, 35

3. 最終的な答え

* 問題1：31, 53, 97

* 問題2：

* (1) $2^2 * 3 * 7$

* (2) $2 * 3^2 * 5$

* (3) $2 * 5 * 11$

* (4) $2 * 3^2 * 13$

* 問題3：

* (1) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

* (2) 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154

* 問題4：15

* C力をのばそう：15, 21, 35