(6) 比例と反比例： (1) $y$ は $x$ に比例し、$x=6$ のとき $y=-24$ である。 ① $x$ と $y$ の関係を式で表す。 ② $x=-2$ のときの $y$ の値を求める。 (2) $y = \frac{12}{x}$ のグラフ上に点 $(3, a)$ があるとき、$a$ の値を求める。 (7) おうぎ形： 半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さと面積を求める。 (8) 球の体積と表面積： 半径5cmの球の体積と表面積を求める。 (9) データの活用： 度数分布表から、 (1) 24m以上30m未満の階級の相対度数を求める。 (2) 最頻値を求める。

1. 問題の内容

(6) 比例と反比例：

(1) $y$ は $x$ に比例し、$x=6$ のとき $y=-24$ である。

① $x$ と $y$ の関係を式で表す。

② $x=-2$ のときの $y$ の値を求める。

(2) $y = \frac{12}{x}$ のグラフ上に点 $(3, a)$ があるとき、$a$ の値を求める。

(7) おうぎ形：

半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さと面積を求める。

(8) 球の体積と表面積：

半径5cmの球の体積と表面積を求める。

(9) データの活用：

度数分布表から、

(1) 24m以上30m未満の階級の相対度数を求める。

(2) 最頻値を求める。

2. 解き方の手順

(6)

(1) ① $y$ は $x$ に比例するので、$y = ax$ と表せる。$x=6$ のとき $y=-24$ を代入して、$-24 = a \times 6$ より $a = -4$。したがって、$y = -4x$。

(1) ② $y = -4x$ に $x = -2$ を代入して、$y = -4 \times (-2) = 8$。

(2) $y = \frac{12}{x}$ に点 $(3, a)$ を代入して、$a = \frac{12}{3} = 4$。

(7) 弧の長さ $l$ は $l = 2 \pi r \times \frac{\alpha}{360}$、面積 $S$ は $S = \pi r^2 \times \frac{\alpha}{360}$ で求められる。半径 $r = 6$ cm、中心角 $\alpha = 120^\circ$ を代入する。

$l = 2 \pi \times 6 \times \frac{120}{360} = 12 \pi \times \frac{1}{3} = 4 \pi$ cm。

$S = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 36 \pi \times \frac{1}{3} = 12 \pi$ cm$^2$。

(8) 球の体積 $V$ は $V = \frac{4}{3} \pi r^3$、表面積 $S$ は $S = 4 \pi r^2$ で求められる。半径 $r = 5$ cm を代入する。

$V = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \pi \times 125 = \frac{500}{3} \pi$ cm$^3$。

$S = 4 \pi \times 5^2 = 4 \pi \times 25 = 100 \pi$ cm$^2$。

(9)

(1) 相対度数は $\frac{階級の度数}{度数の合計}$ で求められる。24m以上30m未満の階級の度数は5、度数の合計は20なので、$\frac{5}{20} = 0.25$。

(2) 最頻値は、度数が最も多い階級の階級値である。度数が最も多いのは18m以上24m未満の階級で、度数は7。この階級の階級値は $\frac{18 + 24}{2} = \frac{42}{2} = 21$ なので、最頻値は21m。

3. 最終的な答え

(6)

(1) ① $y = -4x$

(1) ② $y = 8$

(2) $a = 4$

(7) 弧の長さ：$4 \pi$ cm、面積：$12 \pi$ cm$^2$

(8) 体積：$\frac{500}{3} \pi$ cm$^3$、表面積：$100 \pi$ cm$^2$

(9)

(1) 0.25

(2) 21 m