1から7までの数字が書かれた7枚のカードから5枚を選び、5桁の自然数を作ります。両端の数字が偶数となるような数の作り方は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれた7枚のカードから5枚を選び、5桁の自然数を作ります。両端の数字が偶数となるような数の作り方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、使用する数字を選びます。次に、両端に偶数を配置し、残りの数字を並べます。

ステップ1：偶数の選び方

1から7までの数字のうち、偶数は2, 4, 6の3つです。両端に配置する偶数の選び方は、3つの中から2つを選んで並べる順列なので、$3P2 = 3 \times 2 = 6$ 通りです。

ステップ2：残りの数字の選び方

5桁の数字を作るために、すでに2つの偶数を使用しています。残りの3つの数字は、残りの5つの数字（奇数4つと偶数1つ）から選びます。この選び方は、$5C3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

ステップ3：残りの数字の並べ方

選んだ3つの数字を、真ん中の3つの桁に並べます。これは、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

ステップ4：組み合わせの計算

以上のステップをまとめると、全体の組み合わせの数は、

$3P2 \times 5C3 \times 3! = 6 \times 10 \times 6 = 360$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

360通り