箱の中に赤球5個、白球3個、青球2個が入っている。この箱から1球を取り出し、色を確認して元に戻す試行を5回繰り返す。赤球が出る回数を$X$、白球が出る回数を$Y$とし、$Z=X+Y$とする。このとき、$Z$の期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤球5個、白球3個、青球2個が入っている。この箱から1球を取り出し、色を確認して元に戻す試行を5回繰り返す。赤球が出る回数を$X$、白球が出る回数を$Y$とし、$Z=X+Y$とする。このとき、$Z$の期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤球が出る確率$p_X$と白球が出る確率$p_Y$を求める。箱の中の球の総数は$5+3+2=10$個なので、

$p_X = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$p_Y = \frac{3}{10}$

$X$は二項分布$B(5, \frac{1}{2})$に従い、$Y$は二項分布$B(5, \frac{3}{10})$に従う。$Z=X+Y$は、5回の試行で赤球または白球が出る回数である。

1回の試行で赤球または白球が出る確率は

$p_Z = p_X + p_Y = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

したがって、$Z$は二項分布$B(5, \frac{4}{5})$に従う。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数の期待値は$E(X) = np$、分散は$V(X) = np(1-p)$である。

$Z$の期待値は、

$E(Z) = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$

$Z$の分散は、

$V(Z) = 5 \cdot \frac{4}{5} \cdot (1 - \frac{4}{5}) = 5 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$

3. 最終的な答え

Zの期待値は 4 であり、分散は 0.8 である。