あるコインを100回投げて表が出た回数が58回であった。このコインにゆがみがあるかどうかを有意水準5%で検定する問題である。帰無仮説は「コインにゆがみがなく $p=0.5$ である」とする。表の出る回数$X$は二項分布に従い、$X=58$のときの$Z$値を求め、結論を出す。

1. 問題の内容

あるコインを100回投げて表が出た回数が58回であった。このコインにゆがみがあるかどうかを有意水準5%で検定する問題である。帰無仮説は「コインにゆがみがなく $p=0.5$ である」とする。表の出る回数$X$は二項分布に従い、$X=58$のときの$Z$値を求め、結論を出す。

2. 解き方の手順

(1) $X$は二項分布$B(n, p)$に従うので、$n=100$, $p=0.5$である。

(2) 二項分布$B(100, 0.5)$の平均$\mu$と標準偏差$\sigma$は、

$\mu = np = 100 \times 0.5 = 50$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5$

よって、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 50}{5}$

$X = 58$ のとき、

$Z = \frac{58 - 50}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$

(3) 有意水準5%の両側検定なので、棄却域は$Z < -1.96$または$Z > 1.96$である。

$Z = 1.6$は棄却域に入らない。

したがって、帰無仮説を棄却できない。つまり、コインにゆがみがあるとは判断できない。

3. 最終的な答え

* ア: 100

* イ: 0.5

* ウ: 50

* エ: 5

* オ: 1.6

* カ: ③ 棄却域に入らず、コインにゆがみがあるとは判断できない